[Wiki] Định lý Menelaus là gì? Chi tiết về Định lý Menelaus update 2021

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới điều hướng
Bước tới tìm kiếm

350px %C4%90%E1%BB%8Bnh l%C3%BD Menelaus.svg

Định lý Menelaus

Định lý Menelaus[1] là một định lý cơ bản trong hình học tam giác, được phát biểu như sau: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

*Phần thuận: Giả sử D, E, F thẳng hàng với nhau. Vẽ đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng DE tại G.

Vì CG//AB (c.dựng) nên theo định lý Ta-lét, ta có:







D
B


D
C



=



F
B


C
G





{displaystyle {frac {DB}{DC}}={frac {FB}{CG}}}

(1)







E
C


E
A



=



C
G


F
A





{displaystyle {frac {EC}{EA}}={frac {CG}{FA}}}

(2)

Nhân (1) và (2) và vế theo vế







D
B


D
C







E
C


E
A



=



F
B


F
A





{displaystyle {frac {DB}{DC}}cdot {frac {EC}{EA}}={frac {FB}{FA}}}



Từ đó suy ra







F
A


F
B







D
B


D
C







E
C


E
A



=
1


{displaystyle {frac {FA}{FB}}cdot {frac {DB}{DC}}cdot {frac {EC}{EA}}=1}



*Phần đảo: Giả sử







F
A


F
B







D
B


D
C







E
C


E
A



=
1


{displaystyle {frac {FA}{FB}}cdot {frac {DB}{DC}}cdot {frac {EC}{EA}}=1}

. Khi đó gọi F’ là giao của đường thẳng ED với đường thẳng AB.

Theo chứng minh ở trên, ta có








F


A



F


B







D
B


D
C







E
C


E
A



=
1


{displaystyle {frac {F’A}{F’B}}cdot {frac {DB}{DC}}cdot {frac {EC}{EA}}=1}



Kết hợp giả thuyết suy ra







F
A


F
B



=




F


A



F


B





{displaystyle {frac {FA}{FB}}={frac {F’A}{F’B}}}



Hay







F
A



F


A



=



F
B



F


B



=



F
A
+
F
B



F


A
+

F


B



=



A
B


A
B



=
1


{displaystyle {frac {FA}{F’A}}={frac {FB}{F’B}}={frac {FA+FB}{F’A+F’B}}={frac {AB}{AB}}=1}



Nên F’A = FA và F’B = FB

Do đó F’ trùng với F.

Vậy định lý đã được chứng minh.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Định lý Carnot
  • Định lý Ceva

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Định lý được đặt theo tên của nhà toán học Menelaus xứ Alexandria (thế kỷ II – III), người tìm ra định lý này trong quyển sách Sphaerica vào năm 98
  • Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. “Menelaus’s Theorem.” §3.4 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 66–67, 1967.
  • Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 122, 1987.
  • Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
  • Grünbaum, B. and Shepard, G. C. “Ceva, Menelaus, and the Area Principle.” Math. Mag. 68, 254-268, 1995.
  • Honsberger, R. “The Theorem of Menelaus.” Ch. 13 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 147–154, 1995.
  • Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 42–44, 1928.
  • Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
  • Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 150, 1991.


Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Định_lý_Menelaus&oldid=65246430”

Từ khóa: Định lý Menelaus, Định lý Menelaus, Định lý Menelaus

Nguồn: Wikipedia

0/5 (0 Reviews)